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在求解一个优化问题时,我们可以采用不同的优化方法,而这些方法又可以从不同角度去理解。本文将从算子角度出发,讲述如何理解许多已存在的优化方法。
我们考虑一个非线性映射的零点问题,即求解一个映射,使得非线性映射满足某一特定条件。这个问题可以从以下三个角度理解:
对于无约束凸问题,其最优解等价于求解梯度等于零。这里的梯度即为该优化问题的解。
对于约束优化问题,我们可以将其转化为一个无约束的对偶问题。这个对偶问题的梯度即为原问题的解。
对于约束优化问题,我们可以求解其KKT系统。这里的A即为由KKT条件组成的一个非线性方程组。
在求解问题(1)时,我们采用稳定点迭代的方法。稳定点迭代的核心是找到一个算子,该算子满足以下条件:
Forward operator是一种简单的算子,可以理解为对某一特定条件的转化。例如,在凸问题中,Forward operator可以转化为梯度算法。
Backward operator也称为resolvent operator。其用于求解稳定点迭代。通过推导,我们可以得到稳定点迭代的表达式。
在问题(5)的对偶问题中,Backward operator的稳定点迭代等价于临近点迭代。这种迭代方法被称为增广拉格朗日方法。
结合Forward和Backward算子的应用,我们可以得到临近梯度算法。该算法通过对梯度迭代和临近点迭代的结合,显著提高了优化效率。
Douglas-Rachford splitting是一种基于A和B的Backward operator的拆分方法。其核心思想是通过引入新的变量,并结合前面的Backward operator推导,得到ADMM算法。
Peaceman-Rachford splitting是一种对称的ADMM方法。通过对前面的方法进行对称处理,得到了一种更高效的优化算法。
这些算子的设计原理都是从优化问题的求解出发,通过特定的算子构建,最终得到了一些常见的优化方法。这些方法在实际应用中表现出色,尤其是在处理复杂优化问题时。
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